Symétries en physique

La théorie des groupes en action

Résumé

Cet article passe en revue les multiples applications de la théorie des groupes aux problèmes de symétrie en physique. En physique classique, il s’agit surtout de la relativité : euclidienne, galiléenne, einsteinienne (relativité restreinte). Passant à la mécanique quantique, on remarque d’abord que les principes de base impliquent que l’espace des états d’un système quantique a une structure intrinsèque d’espace préhilbertien, que l’on complète ensuite en un espace de Hilbert. Dans ce contexte, la description de l’invariance sous un groupe G se base sur une représentation unitaire de G. On parcourt ensuite les différents domaines d’application : physique atomique et moléculaire, matière condensée, optique quantique, ondelettes, symétries internes, symétries approchées. On discute ensuite l’extension aux théories de jauge, en particulier au Modèle Standard des interactions fondamentales. On conclut par quelques indications sur des développements récents.

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The present article reviews the multiple applications of group theory to the symmetry problems in physics. In classical physics, this concerns primarily relativity : Euclidean, Galilean, Einsteinian (special). Going over to quantum mechanics, we first note that the basic principles imply that the state space of a quantum system has an intrinsic structure of pre-Hilbert space, that one completes into a genuine Hilbert space. In this framework, the description of the invariance under a group G is based on a unitary representation of G. Next we survey the various domains of application : atomic and molecular physics, condensed matter physics, quantum optics, wavelets, internal symmetries, approximate symmetries. Next we discuss the extension to gauge theories, in particular to the Standard Model of fundamental interactions. We conclude with some remarks about recent developments.