Retrouver la première analyse de la cycloïde

À partir des échanges de correspondance entre Roberval et Torricelli, et en vue d’une histoire des fonctions d’une variable

Résumé

Cet article s’inscrit dans le cadre d’une étude du concept de fonction mathématique. Pour l’histoire comme pour l’enseignement, il ne peut pas se réduire à la simplicité acquise à la fin du XIX^e siècle en théorie des ensembles grâce à Georg Cantor. La réflexion sur un avant peut donner un allant structurel à ce que l’on a appelé la quantification du monde à partir de la Renaissance, qui à quelques égards, pourrait ressembler au numérique actuel des Big Data. Paradoxalement peut-être, au lieu d’une couverture philosophique, il est ici procédé à la manière du travail d’archéologue, en décapant les différentes strates de la résolution des problèmes sur la seule courbe cycloïde (ou roulette). Grâce à une nouvelle évaluation des échanges de lettres entre Roberval et Torricelli, deux savants mathématiciens et physiciens qui ne se sont jamais rencontrés. Qu’on dise en effet, à l’instar de l’abbé Gallois qui servit de secrétaire de l’Académie des sciences vers la fin du XVII^e siècle, que cette roulette a fait « tant de bruit dans la République des Lettres » ne suffit pas à expliquer en quoi la courbe a servi en géométrie différentielle bien sûr comme en mécanique, mais tout autant pour les différentes présentations et représentations du Calcul, le calcul différentiel et intégral. Strictement parlant, cette courbe particulière ne devrait pas déterminer les problèmes que les mathématiciens ont alors posés et résolus. Pourtant on la retrouve toujours depuis 1637, et quoiqu’aujourd’hui un peu oubliée, elle a suscité plusieurs postérités. Il ne s’agit pas d’une nouvelle histoire de ces avatars ; un seul filon est exploité : la représentation paramétrique de cette courbe. C’est un lieu fonctionnel, et le but du présent article est de l’expliquer. La représentation de la cycloïde est publiquement exprimée en quelques lignes sans formules en 1637 par Mersenne, et une certaine habitude pousse à la négliger, tant du point de vue de la logique alors qu’était ainsi résolu un aspect du paradoxe de la roue d’Aristote, que du point de vue de la mécanique alors que se définissait le roulement sans glissement. Ainsi la postérité de la roulette que je veux suivre combine de façon indissociable les notions de variable et de fonction, puisque telle est la nature de la paramétrisation de fournir des coordonnées comme variables, mais aussi comme fonctions. Je vais manifester ce qu’a permis la spatialisation du numérique par le graphe d’une « fonction numérique d’une variable réelle ». Et si on se limitait à un seul résultat, l’intérêt inattendu du long terme de la roulette serait d’avoir permis la fonction sinus dont la première représentation graphique périodique est fournie assez tard en 1670 par Wallis dans un texte sur la cycloïde précisément, et d’avoir ainsi lancé l’étude des ondes appelées à une extension considérable jusqu’à nos jours. La focalisation fonctionnelle met du coup en une nouvelle perspective les questions sur les indivisibles, les sommes de lignes, et les infinitésimales. Car le regard, depuis la collecte de ces deux concepts liés de fonction et de variable, devenus des objets d’une assez grande banalité, peut aussi mieux cerner la mise en place de l’Analyse, à partir des rapports entre calculs dits analytiques et représentations géométriques auxquelles une qualité intuitive est souvent attribuée, porteuse aussi d’un handicap formel. La surprise vient en fin de cette étude d’y trouver la règle dite de la chaîne pour les fonctions composées.

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This paper is part of a study of the concept of mathematical function. For history and for teaching alike, it cannot be reduced to the set theory simplification advanced by Georg Cantor at the end of the 19^th century. Forward thinking can provide a structural drive to what has been called the quantification of the world from the Renaissance onwards, which in some ways might resemble the current digital Big Data. Herein, and perhaps paradoxically, instead of receiving a philosophical dressing, it is dealt with in the manner of archaeological work, by stripping away the various strata of problem-solving on a single cycloid curve (or roulette). This thanks to a new assessment of the exchange of letters between Roberval and Torricelli, two renowned mathematicians and physicists who never met. It is certainly not sufficient to say, following on from Jean Gallois who served as secretary of the Academy of Sciences towards the end of the 17^th century, that this roulette created “such a sensation in the Republic of Letters” in order to explain the way in which the curve was used in differential geometry, as it was in mechanics, and equally so in the various presentations and representations of Calculus, differential and integral calculus. Strictly speaking, this particular curve should not determine the problems that mathematicians then posed and resolved. Yet it has been around since 1637, and although today a little forgotten, it has generated several successors. New avenues have not been explored, they all follow in the same vein: the parametric representation of this curve. It is a functional place, and the purpose of this article is to explain it. The representation of the cycloid is publicly expressed in a few lines without formulae in 1637 by Mersenne, but it was disregarded by force of habit, both from the point of view of logic, even though an aspect of Aristotle’s wheel paradox was thus resolved, and from the point of view of mechanics, even though it defined slip-free rolling. Thus, within the posterity of the roulette that I wish to expound upon, the notions of variable and function are inextricably linked, since such is the nature of the parameterisation, providing coordinates as variables as well as functions. I will exhibit consequences of the digital spatialisation by means of the graph of a “numerical function of a real variable”. And if we were to limit ourselves to a single result, the long-term, unexpected benefit of the roulette would be to have made way for the sinus function, of which the first periodical graphic representation is provided towards the end of 1670 by Wallis in a text featuring the cycloid, and thus to have sparked the study of waves that is still ongoing today. Consequently, functional focus offers a new perspective on the issues surrounding indivisibles, line sums, and infinitesimals. Since the observation of these two related concepts of function and variable, having become rather commonplace, one also has a better understanding of the implementation of analysis, from the relationship between so-called analytical calculations and geometric representations to which an intuitive quality is often attributed, also possessing a certain limitation. The big surprise at the end of this study is to finally uncover the so-called chain rule for composite functions.